2024 iThome 鐵人賽

DAY 7

Security

「後量子密碼學」- 未來資訊安全的基礎系列第 7 篇

Day7 （NTRU）「吾乃數論學家」晶格密碼學一

16th鐵人賽

cesare381

2024-09-18 23:40:08

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今天會著重介紹密碼系統本身，並搭配 SageMath 實作。

開始之前

NTRU 密碼系統，翻譯為「吾乃數論學家」密碼系統。其實與我們之前討論過的二維晶格密碼系統非常類似。除了加密過程中會有各種模算數以外，解密的正確性也有類似模式：因為係數的大小可以被控制，所以會得到比模數等號還強的整數等號。

符號

我們也趁這時候先講好一些約定符號：
首先我們要考慮以下三個多項式商環

再來，我們要考慮這種集合

裡面包涵「洽有 a 個係數等於 1、洽有 b 個係數等於 -1、其他係數等於 0 」的所有多項式：例如

這種集合被稱為「三元多項式」（ternary polynomial）

後續的 SageMath 程式中，我們會使用 ternary_polynomial(a, b, N) 函數來生成這些多項式。

係數有號提升（center-lift）

另外我們需要一個重要概念：「有號提升」Center-lift
我們之前講過所謂的「提升」（lift），就是直接把整數商環的整數當作平常的整數來用。如果本來是模除 m 的整數商環，那提升的結果會是落在 0, 1, ..., m-1。

所謂的「有號提升」是指，把每個在模除 m 的整數商環，都提升至以下區間內的整數：

如果你對一個在

裡面的多項式進行有號提升，其結果就是把每個係數都提升到 (-m/2, m/2] 的區間。

密碼系統

密鑰生成

數組 (N, p, q, d)

N, p 為質數
gcd(N,q) = gcd(p,q) = 1 ，也就是 q 與 N, p皆互質。
q > (6d + 1) p 這是為了最後解碼的正確性而做的設定，暫且不需理會。

以上這些可稱為，全域參數（global parameters），是公開資訊的一部分。

# NTRU parameters
N = 11  # degree of the polynomial, should be prime
p = 3   # small modulus
q = 73  # large modulus
d = 2


print(q > (6*d+1)*p)


# Polynomial ring
R_poly = quotient(PolynomialRing(ZZ,x),x^N-1)
R_q = quotient(ZZ,q*ZZ)
R_q_poly = quotient(PolynomialRing(R_q,x),x^N-1)
R_p = quotient(ZZ,p*ZZ)
R_p_poly = quotient(PolynomialRing(R_p,x),x^N-1)

# Outputs:
# True

Alice 隨機生成以下兩個多項式：

並計算

如果上面這兩個皆不存在，重新生成 f

# Ternary polynomial generation 
def ternary_polynomial(d1, d2, N):
    poly_coeffs = [1]*d1 + [-1]*d2 + [0]*(N-d1-d2)
    shuffle(poly_coeffs)
    return R_poly(poly_coeffs)

f = ternary_polynomial(d+1,d,N)
g = ternary_polynomial(d,d,N)

F_q = R_q_poly(f)^(-1)
F_p = R_p_poly(f)^(-1)

接著在 R_q 中計算

另外 F_p 留作解密使用。（可以要用的時候再計算）

h = F_q*R_q_poly(g)
print(h)

# Outputs:
# 67*xbar^10 + 44*xbar^9 + 55*xbar^8 + 59*xbar^7 + 16*xbar^6 + 36*xbar^5 + 47*xbar^4 + 31*xbar^3 + 71*xbar^2 + 22*xbar + 63

公鑰為：h(x)、以及 (N, p, q, d)
私鑰為：f(x), g(x)

加密訊息

Bob 欲傳加密訊息給 Alice
首先，Bob 將要傳的訊息表示為一個多項式：

其次，Bob 選擇一個隨機的多項式

m = R_poly([0,1,0,0,0,1,1])
r = ternary_polynomial(d,d,N)

計算密文：

e = p*R_q_poly(h)*R_q_poly(r) + R_q_poly(m)
print(e)

# Outputs:
# 3*xbar^10 + 13*xbar^9 + 27*xbar^8 + 21*xbar^7 + 9*xbar^6 + 58*xbar^5 + 48*xbar^4 + 16*xbar^3 + 38*xbar^2 + 15*xbar + 47

解密訊息

解密：Alice 收到 Bob 傳送過來的 e(x)

在 R_q 中計算

a = R_q_poly(f) * e
print(a)

# Outputs:
# xbar^10 + 72*xbar^9 + 2*xbar^8 + 67*xbar^7 + xbar^6 + 9*xbar^5 + 63*xbar^4 + 72*xbar^3 + 7*xbar^2 + 72*xbar + 2

將 $a(x)$ 做有號提升到 $R$

# Center-lift function
def center_lift(poly, q):
    # 先把係數列出來
    original_coeff = poly.list()

    # 把比 q/2 還大的數字減去 q 
    center_lifted_coeffs = []
    for coeff in original_coeff:
        if coeff > (q // 2):
            coeff -= q
        center_lifted_coeffs.append(coeff)
    return R_poly(center_lifted_coeffs)


a = center_lift(a,q)
print(a)


# Outputs:
# xbar^10 + 72*xbar^9 + 2*xbar^8 + 67*xbar^7 + xbar^6 + 9*xbar^5 + 63*xbar^4 + 72*xbar^3 + 7*xbar^2 + 72*xbar + 2

最後在 R_p 中計算

此 b(x) 即等於 m(x)。

a = center_lift(a,q)
print(a)
print(type(a))

# Outputs:
# xbar^10 - xbar^9 + 2*xbar^8 - 6*xbar^7 + xbar^6 + 9*xbar^5 - 10*xbar^4 - xbar^3 + 7*xbar^2 - xbar + 2
# <class 'sage.rings.polynomial.polynomial_quotient_ring.PolynomialQuotientRing_generic_with_category.element_class'>

好！看到這裡，你大概很好奇：「為什麼這樣胡搞瞎搞最後解密會成功？」我們以下開始詳細的數學證明。